常见的三角形应用题解法指导

【摘 要】针对三角形的应用在高考中的地位日益凸显，本文对解斜三角形相关的实际问题进行了归纳、小结。

【关键词】三角形；应用；几种常见题

解斜三角形在实际中的应用是很广泛的，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识。解斜三角形有关的实际问题过程，贯穿了数学建模的思想。这种思想就是从实际出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学建模，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解。

一、解题步骤

解题的一般步骤是：

（1）准确理解题意，弄清应用题中有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角等，根据题意画出示意图，分清已知和所求；

（2）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，把实际问题转化为解三角形的问题。

（3）通过正确地运用正弦定理和余弦定理来解三角形，一是要会解，二是要选择适当的方法求解。

（4）检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍。

二、几种常见题目类型的解法

本文就求距离的几个类型进行简单的讨论

（一）两点能通视而不能到达求水平距离

例1、如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

分析：根据所给图形可以看出，在ABC中，已知BC是半小时路程，只要根据所给的 方位角数据，求出∠ABC、∠A的大小，由正弦定理可以得出AC的长。

（二）两点都不能到达求水平距离

例2、如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD=a和∠ACD=α，∠BCD=β，∠BDC=γ，∠ADC=δ，试求AB的长。

分析：如图所示，对于AB求解，可以在ABC中或者是ABD中求解，若在ABC中，由∠ACB=α-β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在ACD内利用正弦定理求解，BC可在BCD内由正弦定理求解。

（三）求垂直距离

例3、如图，已知海中一小岛周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在处测得小岛在船的南偏东，航行30海里后，在处测得小岛在船的南偏东，如果此船不改变航向，继续往南航行，有无触礁的危险？

分析：船继续向南航行，有无触礁的可能取决于到直线的距离是否大于38海里。于是我们只要先算出（或）的大小，再算处到所在直线的距离，将它与38海里比较即可得到答案。

（四）求距离最值问题

例4、距离船只A的正北方向100千米处有一船只B，以20千米/时的速度沿北偏西60角的方向行驶。A船只以15千米/时的速度向正北方向行驶。若两船同时出发问几小时后，两船相距最近？

分析：若设A行驶到C，B行驶到D，两船相距为CD的长，显然已构成ΔBCD，利用解三角形的知识可求出DC，即构造DC=f（x）的函数关系式。

总结：

对于解斜三角形的实际应用问题要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，明确先用哪个公式定理，先求出哪些量，确定解三角形的方法，在演算过程中要算法简炼、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求。对于实际应用问题中的有关名词、术语要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、视角、方向角、方位角等。